افسانه سوال ششم، یکی از سخت ترین مسایل ریاضی تاکنون

بر هیچ کس پوشیده نیست که ریاضی سخت است. وقتی سخت ترین مسایل ریاضی را حل می کنید، همه چیز پیچیده تر و دیوانه کننده تر نیز می شود. در این مقاله نگاهی به مساله ای که سوال ششم نام گرفته است خواهیم داشت. 

کلیک- ریاضیدان، سیمون پامنا از رقابت بر سر این سوال از سال ۱۹۸۸ در استرالیا تاکنون خبر می دهد. رقابت المپیاد جهانی ریاضی که هر سال در یک کشور برگزار می شود و فقط شش دانش آموز دبیرستانی از هر کشور انتخاب می شوند که به رقابت بپردازند. امتیازها به گونه ای حساب می شد که نشان دهنده این بود که هر فرد چگونه هر شش مساله را حل می کند.

سال ۱۹۸۸ مقامات استرالیایی المپیاد، تصمیم گرفتند که در روز ششم مسابقات، یکی از سخت ترین سوالات موجود را مطرح کنند.

فقط برای اینکه به شما نشان دهیم آن سوال چقدر سخت بوده است، باید بگویم که در سال ۲۰۰۶، ترنس تائو مدال فیلدز (جایزه نوبل ریاضیدانان) را دریافت کرد. در سال ۱۹۸۸ زمانی که ترنس تائو آن سوال را حل می کرد فقط ۱۳ سال داشت و نمره ای که بدست آورده بود امتیاز ۱ از ۷ بود.

آن چیزی که سوال ششم را سخت می کند، این است که برای حل کردن آن باید به حل یک پازل پرداخت. در واقع این مساله به گونه ای طراحی می شود که اگر ریاضیات دبیرستان را نیز به خوبی بدانید، شما را سردرگم می کند. نکته اینجاست که حتی اگر به خوبی بدانید که چگونه یک معادله درجه دو را حل کنید و برای این مساله اگر شما فکر کنید که با یک معادله درجه دوم روبرو هستید، باید گفت که به مسیر اشتباهی می روید.

سوال ششم، توسط یک ریاضیدان آلمان غربی ارایه شد و مقامات استرالیایی المپیاد شش ساعت به خود زمان دادند تا آن را حل کنند تا ببینند آیا این سوال می تواند در رویداد المپیاد مورد سوال قرار گیرد یا نه!

هیچ کدام از مقامات نتوانستند این سوال را در محدوده زمانی شش ساعت حل کنند. آن ها برخی از بهترین ریاضیدانان در زمان خود بودند.

ولی آن ها این سوال را به عنوان سوال ششم المپیاد مطرح کردند و تنها ۹۰ دقیقه برای حل آن به بچه ها زمان دادند!

حتما می خواهید بدانید آن سوال چه بوده است؟ بسیار خوب!

q6

سوال اینجاست. دو متغیر a و b را اعداد صحیح در نظر بگیرید، به طوری که a2+b2 بر ab+1 بخش پذیر باشد. نشان دهید که a2+b2/ab+1 مربع یک عدد صحیح است!

پیشنهاد می کنم فیلم زیر را مشاهده کنید تا درک بهتری از این سوال بدست آورید.

 





26 دیدگاه

  • من مثالی میزنم که نقض عبارت فوق ثابت شود:
    فرض میکنیم: a=3 و b=-1
    در اینصورت ؛ صورت کسر میشود= ۱۰
    و مخرج کسر میشود = -۲
    و ۱۰ هم بر -۲ قابل تقسیم است و حاصل آن عدد صحیح -۵ میشود.
    ولی -۵ مربع هیچ عدد صحیحی نمی تواند باشد.

    باتوجه به اینکه یک مثال نقض برای رد یک نظریه کافیست لذا این سوال غلط هست و همیشه پاسخ مربع یک عدد نمیشود.

  • با سلام ممنون از مطلب با ارزشتون، خب به نظرم البته شاید غلط باشه ولی اگه a و b رو برابر با ۱ در نظر بگیریم جوابش یک میشه که یک هم مربع یک عدد صحیح هست.

  • با سلام راه حل اینست :
    اگر بخواهیم ab+1 بر a^2+b^2 بخش پذیر باشد ، باید ab+1 ≥ a^2+b^2 باشد
    یعنی ۱ ≥ a-b)^2+ab)
    نامعادله فوق در ازای a=b=1,-1 و a=0 , b=1,-1 یا برعکس صحیح است و هر ترکیب دیگری
    غیر از موارد فوق منجر به جواب غلط برای نامعادله خواهد شد .
    با جایگذاری مقادیر فوق در معادله دوم یعنی a^2+b^2 تقسیم بر ab+1 در هر حالت عدد ۱
    بدست می آید که مربع خودش است

      • واقعا” خیلی راست میگی ! تا فهمیدی صورت مسئله را اشتباه ترجمه کرد ه ای نظر استاد کرمی و اینجانب و همین طور نظر خودت در پاسخ به آقای کرمی را یک جا حذف کردی

      • نویسنده

        سلام دوست عزیز
        نظر استاد کرمی و شما به جا بود و از نظرتون سپاسگذارم
        به همین دلیل عاد کردن را در جمله تصحیح کردم و نظرات را برای جلوگیری از به استباه افتادن سایر بازدید کنندگان حذف کردم.
        موفق باشید

    • چون گفته aعدد صحیح و حاصل تقسیم مربع کامل پس حاصل رو میگیریم aبه توان دو درنتیجه با حل معادله میفهمیم aتوان۳ b هست مثلا اگه aرو ۸ بگیریم b میشه دو و جواب میده یا ۳و۲۷

    • چون گفته aعدد صحیح و حاصل تقسیم مربع کامل پس حاصل رو میگیریم aبه توان دو درنتیجه با حل معادله میفهمیم aتوان۳ b هست مثلا اگه aرو ۸ بگیریم b میشه دو و جواب میده یا ۳و۲۷

  • به سادگی با تقسیم جبری ab+1 بر a^2+b^2 و مساوی صفر قرار دادن باقیمانده بدست میآید: a=1/b و با توجه به صحیح بودن aوb و عدم تقسیم بر صفر معادله یک جواب یکتا دارد و آن a=b=1 است. که با قرار دادن در کسر مربوطه حاصل کسر برابر یک خواهد شد که عددی مجذور است.

  • ترنس تائو یکی از بزرگترین ریاضی دان های حال حاضر جهان میباشد شاید بزرگترین در ده اخیر فقط باید گفت جایزه ای نیست نبرده باشد و در سن ۲۳ سالگی استاد ریاضی پرینستون شد. در ۱۳ سالگی مدال نقره و در سال بعد مدال طلای المپیاد ریاضی رو برد. هم اکنون بر روی چند موضوع در حال کار میباشد

  • عرض کردم که متن سوال ایراد داره. این سوال به درستی به فارسی ترجمه نشده. در متن اصلی سوال آمده که اعداد a و b دو عدد صحیح مثبت هستند ولی شما قید مثبت بودن اعداد را درج نکرده اید.

  • سلام من هم صورت وهم مخرجو در مزدوج صورت. ضرب کردم بعدم فاکتور گیری و بعدم استفاده از قانون بخش پذیری که. شد یک جواب اخر ولی اون اعداد صحیح +١ و-١ گرفتم اگه درسته بگید ممنون

  • این در واقع سئوال ساده ای هست من ده دقیقه ای حلش کردم با راه حل و اثبات کامل ریاضی نه با توضیحات و مثال نقض و این جور چیزا. کسی که رشته ریاضی باشه شاید زودتر از من حلش کنه